Jump to content

Побитови операции и представяне на числени данни - УПП, Седмица 14, 15.01.2026



Побитови операции и представяне на числени данни

Какво е бит?

  • всичко в компютъра се представя в двоична бройна система
  • бит е най-малката единица памет
  • байт (byte) е най-малката адресируема единица памет
  • дума (word) е най-голямата обработваема единица памет

Размерите на тези стойности (и някои други ефекти) се определят от архитектурата на процесора:

  • На модерни процесори: x86-64 (Intel/AMD), ARM (Apple M series/Snapdragon/Exynos/Cortex)
    байт е 8 бита, дума е 64 бита
  • процесора извършва повечето инструкции върху думи
  • в повечето архитектури, размера на един адрес (указател) е една дума
  • bool заема един байт, въпреки че стойността му може да се побере в един бит

Общо взето, за модерен процесор/ОС/... може да използвате размерите в долната таблица.

warn Обаче, стандарта на C++ определя единствено минимален размер за типовете. Долните стойности не са закон!
Тип Размер
bool, char "1" бит (1 байт)
short 16 бита (2 байта)
int, float 32 бита (4 байта)
long 32 бита Windows, 64 бита MacOS/Linux
long long, double 64 бита (8 байта)

Побитови оператори

Аритметичните оператори извършват аритметика върху целите стойности на числата

Побитовите оператори извършват логически операции върху всеки два съответни бита

Побитово "И" &, "ИЛИ" |, "НЕ" ~

Работят като логическите &&, ||, ! но върху битовете. Разглеждайки две еднобайтови числа: 

10010011 & 10011100 = 10010000
10010011 | 10011100 = 10011111
         ~ 10010011 = 01101100

Побитово "изключващо или" ^

Истина, когато двата бита са различни и лъжа, когато са еднакви 

10010011 ^ 10011100 = 00001111

Отместване наляво <<

Отместваме битовете с n на брой позиции на ляво 

10010011 << 1 = 00100110
10010011 << 2 = 01001100
10010011 << 3 = 10011000

Отместване надясно >>

Отместваме битовете с n на брой позиции на дясно.
Ако типа е unsigned: 

10010011 >> 1 = 01001001
10010011 >> 2 = 00100100

Иначе повтаряме водещия бит: 

01010011 >> 1 = 00101001
10010011 >> 1 = 11001001
10010011 >> 2 = 11100100

Представяне на цели числа

  • "unsigned" цели числа са ясни (стандартното преобразуване между двоична и десетична бройна система)
  • всеки бит репрезентира степен на 2
  • как обаче да представим отрицателни числа?

Идея: старшия бит (най-левия) да определя дали е положително или отрицателно 

000  0
001  1
010  2
011  3
100 -0
101 -1
110 -2
111 -3

Проблем: нормалното събиране не работи 

 1 +  1 = 001 + 001 =  010 =  2
 1 + -1 = 001 + 101 =  110 = -2
-1 + -1 = 101 + 101 = 1010 =  2 (отрязваме)

Не би ли било готино да представим числата, така че събиране/изваждане да работи по същия начин?

1s complement

Отрицателното число е като положителното, но с обратните битове 

000  0
001  1
010  2
011  3
100 -3
101 -2
110 -1
111 -0

Нарича се така, защото x & -x винаги е равно на 111...111 

 1 +  1 = 001 + 001 =  010 =  2
 1 + -1 = 001 + 110 =  111 = -0
-1 + -1 = 110 + 110 = 1100 = -3 (отрязваме)

Последната сума ни е грешна, защото се нуждаем от "end-around carry". Бита който "прелива" трябва да се събере обратно в числото. 

-1 + -1 = 110 + 110 = 1100 = 1 + 100 = 101 = -2

Плюсове: водещия бит е единица при отрицателни.
Минуси: има +0 и -0, нуждаем се от "end-arround carry".

2s complement

Като 1s complement, но при отрицателните числа изваждаме единица. 

000  0
001  1
010  2
011  3
100 -4
101 -3
110 -2
111 -1

Нарича се така, защото x + -x е равно на 2 на степен броя битове 

 1 +  1 = 001 + 001 =  010 =  2
 1 + -1 = 001 + 111 = 1000 =  0 (отрязваме)
-1 + -1 = 111 + 111 = 1110 = -2 (отрязваме)

Събиране/изваждане работят по същия начин, винаги водещия бит е единица при отрицателни, няма -0.

Представяне на числа с плаваща запетая

Идея: цяло число, в което закодираме позиция на точката.

Например, в 16-битово число, левите 4 бита закодират позицията на точката сред битовете, останалото е числото. 

0000 001001010110 -> 001001010110. = 598.0
0010 001001010110 -> 0010010101.10 = 149.2
1010 001001010110 -> 00.1001010110 = 0.598
  • Много малък обхват от числа: най-голямо е 4095.0, най-малкото е 0.0, най-прецизното е 0.0001
  • Ако използваме 2s complement за отрицателни числа, обхвата става от -2048.0 до 2047.0
  • Имаме много нули
  • 4те бита за позиция са wasted, защото най-лявата позиция е 12, 1100

IEEE754

  • Формат, публикуван през 1985 година
  • За 16 бита, обхвата му е от -65504 до 65504, най-прецизното възможно число е 0.000000059604645
  • Поддържа "числата" безкрайност и "not a number"
  • Представя числата като дроби (научна нотация)
  • Не всички числа в обхвата могат да бъдат представени
  • Числата около нулата могат да имат много цифри след запетаята, тези по-далеч могат по-малко
︽